Se você colocar uma xícara de chocolate quente a 90º na mesa da sala guardada a 25º sabe que vai esfriar?

Para determinar quanto tempo levará para uma xícara de chocolate quente a 90°C esfriar até a temperatura ambiente (25°C) sobre uma mesa em uma sala mantida a 25°C, precisamos considerar o conceito de transferência de calor.

Quando o chocolate quente é colocado sobre a mesa, ocorrerá transferência de calor entre o chocolate quente e o ambiente circundante. O chocolate quente perderá calor para o ar mais frio e para a superfície da mesa por meio de condução, convecção e radiação.

A taxa de transferência de calor depende de vários fatores, incluindo a diferença de temperatura entre o chocolate quente e o ambiente, a área superficial do copo e as propriedades térmicas dos materiais envolvidos.

Supondo que o copo seja feito de um material como a cerâmica, que tem uma condutividade térmica relativamente baixa, e que a temperatura ambiente permaneça constante em 25°C, podemos usar a lei do resfriamento de Newton para aproximar o tempo que o chocolate quente levará para esfriar. abaixo.

A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente circundante. Matematicamente, pode ser expresso como:

dT/dt =-k(T - T_env)

onde:
dT/dt representa a taxa de mudança de temperatura em relação ao tempo
k é a constante de resfriamento, que depende de fatores como área de superfície, condutividade térmica e coeficientes de transferência de calor
T é a temperatura do objeto (chocolate quente)
T_env é a temperatura do ambiente circundante (temperatura ambiente)

Para resolver esta equação diferencial, podemos separar variáveis ​​e integrar:

dT/(T - T_env) =-k dt
ln(T - T_env) =-kt + C
T - T_env =e^(-kt) * C

onde C é a constante de integração.

Utilizando a condição inicial de que no instante t =0 a temperatura do chocolate quente é 90°C, podemos determinar o valor de C:
T_0 - T_env =e^(0) * C
C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Substituindo este valor de C de volta na equação, obtemos:
T - T_env =65 * e^(-kt)
T =T_env + 65 * e^(-kt)

Para encontrar o tempo que leva para o chocolate quente esfriar até 25°C, podemos substituir T =25 e resolver para t:
25 =25 + 65 * e^(-kt)
0 =65 * e^(-kt)
-kt =ln(0) (não definido)

Como o logaritmo natural de 0 é indefinido, significa que o chocolate quente nunca atingirá exatamente 25°C. No entanto, continuará a arrefecer e a aproximar-se assintoticamente da temperatura ambiente. Na prática, uma vez que a diferença de temperatura se torna pequena, a taxa de resfriamento também será muito lenta e o chocolate quente acabará por atingir uma temperatura muito próxima da temperatura ambiente.

Concluindo, embora não possamos determinar um tempo preciso para o chocolate quente esfriar até 25°C usando este modelo simplificado, podemos dizer que ele perderá continuamente calor e se aproximará da temperatura ambiente ao longo do tempo.