Wenn ein Hähnchen aus dem Ofen genommen wird, beträgt die Temperatur drei Minuten später 300 °F und dann 200 °F. Wie lange dauert es, bis der Raum von 70 °F abgekühlt ist?

- Anfangstemperatur des Huhns:\(T_i =300^\circ F\)

- Endgültige Raumtemperatur:\(T_r =70^\circ F\)

- Drei Minuten später gemessene Temperatur:\(T_1 =200^\circ F\)

Annahmen

- Es wird davon ausgegangen, dass das Huhn gemäß dem Newtonschen Abkühlungsgesetz abkühlt. Dieses besagt, dass die Abkühlungsrate eines Objekts direkt proportional zur Differenz seiner Temperatur und der Umgebungstemperatur ist.

Auflösen nach der Abkühlgeschwindigkeitskonstante (k)

Unter Verwendung der angegebenen Daten nach drei Minuten können wir die Abkühlgeschwindigkeitskonstante \(k\) mithilfe der Gleichung berechnen:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Wo:

- \(T_1\) ist die Temperatur zum Zeitpunkt \(t\)

- \(T_i\) ist die Anfangstemperatur

- \(T_r\) ist die Raumtemperatur

- \(k\) ist die Abkühlgeschwindigkeitskonstante

Wenn wir die Werte in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:

$$200 =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

Wenn wir nach \(k\) auflösen, finden wir Folgendes:

$$k \ungefähr 0,0693 \ \text{min}^{-1}$$

Die Zeit zum Abkühlen auf Raumtemperatur finden

Jetzt wollen wir die Zeit \(t\) ermitteln, die das Huhn benötigt, um von \(T_1 =200 ^\circ F\) auf die Raumtemperatur \(T_r =70^\circ F\) abzukühlen.

Wir können die obige Gleichung umstellen, um sie nach \(t\) aufzulösen:

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Wenn wir die Werte einsetzen, erhalten wir:

$$t =\frac{1}{0,0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \ca. 4,6 \text{ Minuten}$$

Daher dauert es im gegebenen Szenario etwa 4,6 Minuten, bis das Huhn von 200 °F auf Raumtemperatur (70 °F) abgekühlt ist.