Wanneer een kip uit de oven wordt gehaald, is de temperatuur gemeten op 300f drie minuten later 200f hoe lang duurt het voordat de ruimte van 70f is afgekoeld?

- Begintemperatuur van de kip:\(T_i =300^\circ F\)

- Eindkamertemperatuur:\(T_r =70^\circ F\)

- Temperatuur drie minuten later gemeten:\(T_1 =200^\circ F\)

Aannames

- Aangenomen wordt dat de kip afkoelt volgens de wet van Newton, die stelt dat de snelheid waarmee een object afkoelt recht evenredig is met het verschil in temperatuur en de omgevingstemperatuur.

Oplossing van de koelsnelheidsconstante (k)

Met behulp van de gegeven gegevens na drie minuten kunnen we de koelsnelheidsconstante \(k\) berekenen met behulp van de vergelijking:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Waar:

- \(T_1\) is de temperatuur op tijdstip \(t\)

- \(T_i\) is de begintemperatuur

- \(T_r\) is de kamertemperatuur

- \(k\) is de koelsnelheidsconstante

Als we de waarden in de vergelijking invullen, krijgen we:

$$200 =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

Als we \(k\) oplossen, vinden we dat:

$$k \circa 0,0693 \ \text{min}^{-1}$$

De tijd vinden om af te koelen tot kamertemperatuur

Nu willen we de tijd vinden \(t\) die de kip nodig heeft om af te koelen van \(T_1 =200 ^\circ F\) naar de kamertemperatuur \(T_r =70^\circ F\).

We kunnen de bovenstaande vergelijking herschikken om \(t\) op te lossen:

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Als we de waarden invoeren, krijgen we:

$$t =\frac{1}{0,0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \circa 4,6 \text{ minuten}$$

Daarom duurt het in het gegeven scenario ongeveer 4,6 minuten voordat de kip is afgekoeld van 200 °F naar kamertemperatuur (70 °F).