Όταν ένα κοτόπουλο αφαιρεθεί από το φούρνο, η θερμοκρασία μετρήθηκε στα 300 και τρία λεπτά αργότερα 200 π. πόσο καιρό θα χρειαστεί για να κρυώσει το δωμάτιο των 70 f;

- Αρχική θερμοκρασία του κοτόπουλου:\(T_i =300^\circ F\)

- Τελική θερμοκρασία δωματίου:\(T_r =70^\circ F\)

- Θερμοκρασία που μετρήθηκε τρία λεπτά αργότερα:\(T_1 =200^\circ F\)

Υποθέσεις

- Το κοτόπουλο θεωρείται ότι ψύχεται σύμφωνα με το νόμο ψύξης του Νεύτωνα, ο οποίος δηλώνει ότι ο ρυθμός ψύξης ενός αντικειμένου είναι ευθέως ανάλογος με τη διαφορά στη θερμοκρασία του και τη θερμοκρασία περιβάλλοντος.

Επίλυση για τη σταθερά ρυθμού ψύξης (k)

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στα τρία λεπτά, μπορούμε να υπολογίσουμε τη σταθερά του ρυθμού ψύξης \(k\) χρησιμοποιώντας την εξίσωση:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Οπου:

- \(T_1\) είναι η θερμοκρασία τη στιγμή \(t\)

- \(T_i\) είναι η αρχική θερμοκρασία

- \(T_r\) είναι η θερμοκρασία δωματίου

- \(k\) είναι η σταθερά του ρυθμού ψύξης

Αντικαθιστώντας τις τιμές στην εξίσωση, παίρνουμε:

$200 =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

Λύνοντας για \(k\), βρίσκουμε ότι:

$$k \περίπου 0,0693 \ \text{min}^{-1}$$

Εύρεση του χρόνου για ψύξη σε θερμοκρασία δωματίου

Τώρα θέλουμε να βρούμε τον χρόνο \(t\) που θα χρειαστεί για να κρυώσει το κοτόπουλο από \(T_1 =200 ^\circ F\) στη θερμοκρασία δωματίου \(T_r =70^\circ F\).

Μπορούμε να αναδιατάξουμε την παραπάνω εξίσωση για να λύσουμε το \(t\):

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Συνδέοντας τις τιμές, παίρνουμε:

$$t =\frac{1}{0,0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \περίπου 4,6 \text{ λεπτά}$$

Επομένως, θα χρειαστούν περίπου 4,6 λεπτά για να κρυώσει το κοτόπουλο από 200°F σε θερμοκρασία δωματίου (70°F) στο δεδομένο σενάριο.