Kun kana otetaan pois uunista mitattuna 300 ja kolme minuuttia myöhemmin 200f kuinka kauan kestää, että 70 asteen huone jäähtyy?

- Kanan alkulämpötila:\(T_i =300^\circ F\)

- Lopullinen huonelämpötila:\(T_r =70^\circ F\)

- Kolme minuuttia myöhemmin mitattu lämpötila:\(T_1 =200^\circ F\)

Oletukset

- Kanan oletetaan jäähtyvän Newtonin jäähdytyslain mukaan, jonka mukaan esineen jäähtymisnopeus on suoraan verrannollinen sen lämpötilan ja ympäristön lämpötilan eroon.

Jäähdytysnopeuden vakion (k) ratkaiseminen

Käyttämällä annettuja tietoja kolmen minuutin kohdalla voimme laskea jäähdytysnopeusvakion \(k\) yhtälön avulla:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Jossa:

- \(T_1\) on lämpötila hetkellä \(t\)

- \(T_i\) on alkulämpötila

- \(T_r\) on huoneen lämpötila

- \(k\) on jäähdytysnopeusvakio

Korvaamalla arvot yhtälöön, saamme:

200 $ =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

Ratkaisemalla \(k\) huomaamme, että:

$$k \noin 0,0693 \ \text{min}^{-1}$$

Ajan löytäminen huoneenlämpötilaan jäähtymiseen

Nyt haluamme selvittää ajan \(t\), joka kuluu kanan jäähtymiseen \(T_1 =200 ^\circ F\) huoneenlämpötilaan \(T_r =70^\circ F\).

Voimme järjestää yllä olevan yhtälön uudelleen ratkaisemaan \(t\):

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Yhdistämällä arvot saamme:

$$t =\frac{1}{0.0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \noin 4,6 \teksti{ minuuttia}$$

Siksi kestää noin 4,6 minuuttia, ennen kuin kana jäähtyy 200 °F:sta huoneenlämpöön (70 °F) annetussa skenaariossa.