Lorsqu'un poulet est retiré de la température du four mesurée à 300 °F, trois minutes plus tard, 200 °F, combien de temps faudra-t-il pour que la pièce refroidisse à 70 °F ?

- Température initiale du poulet :\(T_i =300^\circ F\)

- Température ambiante finale :\(T_r =70^\circ F\)

- Température mesurée trois minutes plus tard :\(T_1 =200^\circ F\)

Hypothèses

- Le poulet est supposé refroidir selon la loi de refroidissement de Newton, qui stipule que la vitesse de refroidissement d'un objet est directement proportionnelle à la différence entre sa température et la température ambiante.

Résolution de la constante de vitesse de refroidissement (k)

En utilisant les données fournies à trois minutes, nous pouvons calculer la constante de vitesse de refroidissement \(k\) en utilisant l'équation :

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Où:

- \(T_1\) est la température au temps \(t\)

- \(T_i\) est la température initiale

- \(T_r\) est la température ambiante

- \(k\) est la constante de vitesse de refroidissement

En substituant les valeurs dans l'équation, nous obtenons :

$$200 =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

En résolvant \(k\), nous trouvons que :

$$k \environ 0,0693 \ \text{min}^{-1}$$

Trouver le temps de refroidissement à température ambiante

Nous voulons maintenant trouver le temps \(t\) qu'il faudra au poulet pour refroidir de \(T_1 =200 ^\circ F\) à la température ambiante \(T_r =70^\circ F\).

Nous pouvons réorganiser l’équation ci-dessus pour résoudre \(t\) :

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

En branchant les valeurs, on obtient :

$$t =\frac{1}{0,0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \environ 4,6 \text{minutes}$$

Par conséquent, il faudra environ 4,6 minutes pour que le poulet refroidisse de 200 °F à la température ambiante (70 °F) dans le scénario donné.