Cuando se saca un pollo del horno, la temperatura se mide a 300 °F, tres minutos después, 200 °F, ¿cuánto tiempo tardará en enfriarse la habitación de 70 °F?

- Temperatura inicial del pollo:\(T_i =300^\circ F\)

- Temperatura ambiente final:\(T_r =70^\circ F\)

- Temperatura medida tres minutos después:\(T_1 =200^\circ F\)

Suposiciones

- Se supone que el pollo se enfría según la ley de enfriamiento de Newton, que establece que la velocidad de enfriamiento de un objeto es directamente proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente.

Resolver la constante de velocidad de enfriamiento (k)

Usando los datos dados a los tres minutos, podemos calcular la constante de velocidad de enfriamiento \(k\) usando la ecuación:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Dónde:

- \(T_1\) es la temperatura en el momento \(t\)

- \(T_i\) es la temperatura inicial

- \(T_r\) es la temperatura ambiente

- \(k\) es la constante de velocidad de enfriamiento

Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos:

$$200 =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

Resolviendo para \(k\), encontramos que:

$$k \aprox 0,0693 \ \text{min}^{-1}$$

Encontrar el tiempo para enfriar a temperatura ambiente

Ahora queremos encontrar el tiempo \(t\) que le tomará al pollo enfriarse desde \(T_1 =200 ^\circ F\) hasta la temperatura ambiente \(T_r =70^\circ F\).

Podemos reorganizar la ecuación anterior para resolver \(t\):

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Introduciendo los valores obtenemos:

$$t =\frac{1}{0.0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \aprox 4.6 \text{ minutos}$$

Por lo tanto, el pollo tardará aproximadamente 4,6 minutos en enfriarse de 200 °F a temperatura ambiente (70 °F) en el escenario dado.