Quando un pollo viene tolto dal forno, la temperatura misurata è di 300ftre minuti dopo 200fquanto tempo occorrerà perché la stanza si raffreddi a 70f?

- Temperatura iniziale del pollo:\(T_i =300^\circ F\)

- Temperatura ambiente finale:\(T_r =70^\circ F\)

- Temperatura misurata tre minuti dopo:\(T_1 =200^\circ F\)

Ipotesi

- Si presuppone che il pollo si raffreddi secondo la legge di Newton, la quale afferma che la velocità di raffreddamento di un oggetto è direttamente proporzionale alla differenza tra la sua temperatura e la temperatura ambiente.

Risoluzione della costante della velocità di raffreddamento (k)

Utilizzando i dati forniti a tre minuti, possiamo calcolare la costante di velocità di raffreddamento \(k\) utilizzando l'equazione:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Dove:

- \(T_1\) è la temperatura al tempo \(t\)

- \(T_i\) è la temperatura iniziale

- \(T_r\) è la temperatura ambiente

- \(k\) è la costante della velocità di raffreddamento

Sostituendo i valori nell'equazione, otteniamo:

$$200 =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

Risolvendo per \(k\), troviamo che:

$$k \circa 0,0693 \ \text{min}^{-1}$$

Trovare il tempo per raffreddare a temperatura ambiente

Ora vogliamo trovare il tempo \(t\) necessario affinché il pollo si raffreddi da \(T_1 =200 ^\circ F\) alla temperatura ambiente \(T_r =70^\circ F\).

Possiamo riorganizzare l'equazione sopra per risolvere \(t\):

$$t =\frac{1}{k} \ln \sinistra(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Inserendo i valori otteniamo:

$$t =\frac{1}{0,0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \circa 4,6 \text{ minuti}$$

Pertanto, nello scenario indicato, occorreranno circa 4,6 minuti affinché il pollo si raffreddi da 200°F a temperatura ambiente (70°F).